斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368……..

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

简单来说，斐波那契数列可以用下面这个公式来表示。

{ 0   ,n=1
{ 1   ,n=1
{ f(n-1)+f(n-2) ,n>1

关于斐波那契数列衍生的算法题层出不穷，比如青蛙跳台阶问题等（题目：一只青蛙一次可以跳1级台阶，也可以条2级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。），斐波那契数列问题的解法主要有两种，下面来看一下。

1.效率极低的递归解法

int fibonacci(int n){
     if (n == 0){
         return 1;
     }
     if (n == 1){
         return 1;
     }
     return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
 }

上面的代码已经非常直观和简单的展示了递归的思想。但这种解决问题的方式却是最差的。比如我们在求解f(10)时，需要先求f(9)和f(8)。同样，在求f(9)时，需要先求f(8)和f(7)…..这种递归方法会导致重复计算的节点数随着 n 的增大而急剧增大，它的时间复杂度是以 n 的指数的方式递增的。

2.把递归的算法用循环实现

int fibonaccis(int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    int fn0 = 1; // 初始化 f(n-2)=f(0)=1
    int fn1 = 1; // 初始化 f(n-1)=f(1)=1
    int fn2 = 2;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        fn2 = fn0 + fn1; // f(n)=f(n-1)+f(n-2)
        fn0 = fn1;
        fn1 = fn2;
    }
    return fn2;
}

在上面的代码中，我们把已经得到的数列中间项保存起来，在下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过就不用再重复计算了。

这个算法的流程是：

f(2)=f(1)+f(0) f(3)=f(2)+f(1) f(4)=f(3)+f(2) …

3.解法比较

用不同的方法求解斐波那契数列的时间效率大不相同。第一种基于递归的解法虽然直观但时间效率很低，在实际软件开发中不会用这种方法，也不可能得到面试官的青睐。第二种方法把递归的算法用循环实现，极大地提高了时间效率。